İki Doğrunun Kesişim Noktası Nasıl Bulunur? Birbiriyle kesişen doğrular iki boyutlu bir grafik üzerinde sadece 1 noktada kesişirler. Bu kesiştikleri noktanın bir x değeri, bir de y değeri bulunur. Kesişim noktası her iki denklemi de sağlayan bir noktadır. Dolayısıyla bulunması gereken noktaların x değerleri her iki denklemde de yerine konulduğunda y değerinin elde edilmesi gerekmektedir. Burada anlatılacakların haricinde bu doğrular grafik üzerinde hayal edip kesişim noktalarını tahmin edebilirsiniz. Eğer işlem yaparak cebirsel iki doğrunun kesişim noktasını bulmaya çalışıyorsanız aşağıdaki adımları sırayla uygulamanız yeterlidir.
Birinci Dereceden Denklemler İçin
1) İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için her iki denklemi eşitliğin sol tarafında y kalacak şekilde yazın. x’li ve sabit terimleri eşitliğin sağ tarafında bırakarak, sol tarafında da y’nin kalmasını sağlayın.
- Eşittir işaretinin sağ tarafında y’nin bulunmasında herhangi bir sorun yoktur, ama bu işlemleri yapabilmeyi kolaylaştırmak adına eşitliğin sağ tarafında y’nin bulunması daha iyidir.
- Bazen y yerine f(x) yahut g(x) gibi sembollerle olan bir denklem görebilirsiniz. Kimi zamanda x terimi içermeyen, sadece sabit sayılar içeren fonksiyonlarla işlem yapmanız gerekebilir. Bu durumda yapılması gereken tek şey o sabit sayıya fonksiyonu eşitlemek ve x değerini bulmaktır. Birden fazla fonksiyonun kesişimi için f(x) ve g(x) yerine y yazarak işlemlere devam edebilirsiniz.
2) Her iki fonksiyonun sağ tarafında kalan kısımları birbirine eşitleyin. Sonrasında bu eşitlikten x’i çözün. Buradaki fonksiyonları: y = x + 6 ve y = 15 – 2x olarak alırsak yapmamız gereken işlem x + 6 = 15 – 2x eşitliğinden x’i bulmaktır.
- Denklemin bir tarafında değişkenler bir tarafında sabit sayılar olacak şekilde cebirsel işlemleri yapın. Eşitliğin her iki tarafında aynı işlemi yaptığınız sürece eşitlik bozulmayacaktır. Buradan öncelikle eşitliğin her iki tarafına “2x” eklenir.
- x + 6 + 2x = 15 – 2x + 2x
- x + 6 + 2x = 15
- 3x + 6 = 15
- Şimdi denklemin her iki tarafından “6” çıkarın.
- 3x + 6 – 6 = 15 – 6
- 3x = 9
- Son olarak eşitliğin her iki tarafını “3” e bölün.
- 3x / 3 = 9 / 3
- x = 3
- Kesişim noktası x ve y değerlerinden oluşacağından dolayı biz henüz burada x değerini bulduk, bundan dolayı y değerini bulmamız gerekecektir. y’nin bulunması için sonraki adımı incelemeye devam edin.
3) Cebirsek iki doğrunun kesişimini bulmak için Denklemlerden birinde x değerini koyarak y’yi çözün. Her iki denklemde de x’i koyduğunuzda aynı y değerini bulacağınızı göreceksiniz. Bundan dolayı tek bir denklemde x’i yerine koyup y’yi bulmanız yeterlidir. Ama işlemleri kontrol etmek amaçlı her iki denklemde de x’i yerine koyarak y değerini bulmanızda fayda var.
- İlk denklemde (y = x + 6), x = 3 yazılırsa, y = 3 + 6 = 9 olarak bulunmuş olur.
- Diğer denklemin içine x değerini koyarak işlemini kontrol edin. Yukarıda bulunan y değeri ile aynı değeri bulmanız gerekmektedir. Bulamadıysanız işlemin bir yerinde hata yapmışsınız demektir. y =15-2x de x = 3 yazılırsa y = 15 – 2*3 = 15 – 6 = 9, y=9 olarak bulunmuş olur. İlk denklemle aynı değer olduğundan dolayı yapılan işlemler doğrudur.
4) Cebirsel iki doğrunun kesişim noktasını ifade etmek için bulunan x ve y değerlerini (x,y) şeklinde yazın. Şimdi her iki koordinat değerini de elde ettiğimize göre verdiğimiz örnekte Kesişim noktası : (3,9) olarak bulunur.
İkinci Deredece Denklemler İçin
- Denklem gerçekten 2. dereceden mi önce onu anlayın. İkinci dereceden bir denklemde x’in kuvvetinin en fazla 2 olması lazım. Yani bir denklemde en yüksek üs olarak x^3 varsa o zaman o denklem 3. dereceden bir denklemdir. Benzer şekilde sadece en yüksek üs olarak x^1 varsa bu durumda da denklem birinci derecedendir.
- Birinci dereceden denklemler bir doğruyu temsil edeken, ikinci dereceden denklemler bir eğriyi temsil eder. Bundan dolayı da ikinci dereceden bir doğru ile kesişim hiç olmayabilir, 1 noktada kesişim olabilir ya da 2 noktada kesişim olabilir.
- Denkleminizin parantezli bir ifade ise denklem derecesinin 2 olup olmadığını tespit edebilmek için genişletmelisiniz. Diyelim ki y=(x+5)x şeklinde bir denklem var bu durumda x’i içeri dağıtarak y=x²+5x haline getirdiğinizde en büyük üs 2 olduğundan 2. dereceden denklem olduğu görülmüş olur.
- Daire ve elip ile ilgili ikinci dereceden denklemlerde hem x² hem de y² şeklinde bilinmeyen olur. Bunlarla ilgili işin içinden çıkamadığınız durumlarda en alt kısımda yer alan İpuçları bölümünü inceleyebilirsiniz.
- Eğer halihazırda o şekilde verilmediyse denklemlerin her ikisini de bir tarafta y kalacak şekilde yazın. Kimi sorularda kafa karıştırmak adına denklemi karman çorman bir hale sokup o şekilde çözüm bulmanız istenir.
- Örneğin; x²+2x−y=−1 şeklinde bir denklem ve y-7=x şeklinde denklemler verilmiş olsun.
- İlk denklem için y’yi eşitliğin sağına -1’i de soluna atın. Sayı ya da bilinmeyenler eşitlikte yer değiştirdiğinde işareti de değişir.
- x²+2x+1=y şeklini alır.
- İkinci denklem için de -7’yi denklemin sağına atın.
- y=x+7 şekline gelmiş olur.
- Bu örnekteki denklerden biri ikinci dereceden biri de birinci derecede doğrusal denklemdir. Herhangi bir soruda iki adet 2. dereceden denklem varsa yine benzer şekilde çözüme ulaşabilirsiniz.
3. İki denklemdeki y’leri birbirine eşitleyin. Tıpkı birinci dereceden denklemlerde olduğu gibi y’ler yalnız bırakılıp eşitlenerek kesişim bulunur.
İpuçları:
- 2y – 2x = 12 ve 3y + 6x = 45 biçiminde iki fonksiyonun kesişim noktasını bulmadan önce y’leri yalnız bırakmak için eşitliklerdeki x’li terimleri sağ taraf atmanız gerekmektedir. Bu örnek için:
- 2y = 12 + 2x ve 3y = 45 -6x biçimine dönüşür
- Sonrasında eşitliklerdeki y’ leri yalnız bırakmak için eşitliklerin her iki tarafını y’lerin katsayılarına bölmeniz gerekmektedir. Verdiğimiz örnek üzerinden devam edersek:
- y = 6 + x ve y = 15-2x biçimine dönüşmüş olur. Buradan sonrası için Adım1′ den itibaren işlemleri yapabilirsiniz.
- İki doğru her zaman kesişmek zorunda değildir. Örneğin paralel olan doğrular hiç bir zaman kesişmez.
- Cebirsel iki doğrunun kesişimini bulmak ile ilgili merak ettiğiniz şeyler varsa yorumlar kısmında sorunuzu belirtebilirsiniz.
İlgili Sorular:
1) y=x+3 , y=2x+6 şeklinde denklemi olan iki doğrunun kesim noktasının ne olduğunu (x,y) şeklinde bulun.
2) y=3x+4, y=2x+9 şeklinde denklemi verilen iki doğrunun kesişim noktasını (x,y) şeklinde bulun.
3) 3y=9, y=8 kooordinat sistemindeki iki denklem için kesim noktası var mıdır? Varsa bu noktalar nedir? Yoksa böyle doğrulara ne denir?
Kaynak: 1 (Erişim)
