Vektörlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi Nasıl Yapılır? Vektörler bir doğrultunun yanı sıra bir büyüklüğe de sahiptir (ivme, yer değiştirme gibi), bu konuda skaler değerlere göre farklıdır, çünkü skaler değerler sadece büyüklükten oluşur (hız, mesafe ya da enerji). Skaler iki sayının değeri birbirine eklenerek direk toplamı bulunabilir (5kJ’lük işe 6kJ’lük iş eklenirse 11kJ’lük iş olmuş olur). Vektörlerdeki toplama / çıkarma işlemi skaler ya da normal toplama / çıkarma işleminden biraz daha farklılık göstermektedir. Vektörlerde toplama ve çıkarma işlemi yapmanın çeşitli yolları vardır. Bunları incelemek için aşağıdaki adımları takip edin.
Bilinen Bileşenler ile Vektörleri Toplama ve Çıkarma
1) Vektör notasyonu aracılığıyla Vektörün boyutlu bileşenleri ifade edilir: Vektörlerin büyüklüğü ve yönü olduğundan, x, y ve/veya z olarak vektörleri 2 /3 parçaya ayırmak mümkün olmaktadır. Bu boyutlar koordinat sistemindeki noktaları açıklamak için kullanılmıştır (Örneğin <x, y, z> vb.). Bu değerler biliniyorsa x,y ve z koordinatlarını kullanarak toplama ve çıkarma işlemini yapmak basittir.
- Vektörler, 1, 2 yahut 3-boyutlu olabilir, bunu unutmayın. Bundan vektörler x- bileşeni, x ve y bileşeni veya x,y ve z bileşeninden oluşabilir. Bizim vermiş olduğumuz vektörler 3 boyutlu vektörlere örnektir. 1-D (1 boyutlu) ve 2-D(2 Boyutlu) vektörlerle toplama / çıkarma işlemi daha basit yapılırken 3-D (3 boyutlu) vektörlerde toplama/ çıkarma işlemi biraz daha zor olsa da, süreç benzerlik göstermektedir.
- Elimizde A ve B olmak üzere iki tane 3 boyutlu vektör olduğunu var sayalım; A = <a1, b1, c1> ve B = <a2, b2, c2> şeklinde tanımlanır. a1 ve a2 bu vektörlerin x bileşenleri, b1 ve b2 vektörlerin y bileşenleri, c1 ve c2 ise z bileşenleridir.
2) İki vektörü toplamak için bileşenleri birbirine ekleyin. İki vektörün bileşenleri biliniyorsa bu bileşenlerin karşılık gelen bileşenleri birbirine eklenerek toplama işlemi yapılır. Diğer bir deyişle ilk vektörün x bileşenini, ikinci vektörün x bileşenine ekleyeceksiniz ve aynı işlemleri y ve z bileşenleri için de yapacaksınız. İki vektörün x,y ve z bileşenlerini toplayarak yeni, sonuç vektörünün x, y ve z bileşenlerini elde etmiş olursunuz.
- Genel anlamda, A + B = <a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2>.
- A ve B iki vektörü birbirine ekleyelim. A = <6, 10, -11> ve B = <18, -4, -3>.
A + B = <6 + 18, 10 +(-4), -11 +(-3)> veya <24, 6, -14>.
3) İki vektörü çıkarmak için, vektörlerin bileşenlerini çıkarın. Daha sonra ele alacağımız gibi, bir vektörden diğerini çıkarmak için, çıkarılan vektörün tersini alarak eklemek olarak düşünülebilir. İki vektörün bileşenlerinin bilinmesi durumunda, birinci vektörün bileşenlerinden ikinci vektörün bileşenleri çıkarılarak bulunur (ya da ikinci vektörün bileşenlerinin negatiflerini ekleyerek).
- Genel olarak, A-B = <a1-a2, b1-b2, c1-c2>
- A ve B iki vektörünün çıkarılmasını incelersek: A = <19, 6, 4> ve B = <-11, 10, -11>.
A – B = <19-(-11), 6-10, 4-(-11)> veya <30, -4, 15>.
Kuyruk Baş Yöntemini Kullanarak Görsel Olarak Toplama ve Çıkarma
1) Vektörleri bir baş ve kuyruk çizerek görsel olarak temsil edin. Vektörlerin büyüklüğü ve gönü olduğundan dolayı bir kuyruk ve başa sahip olduğu söylenebilir. Diğer bir deyişle vektörlerin bir başlangıç noktası ve bir de bitiş noktası, son noktası bulunmaktadır. Bu iki nokta arasındaki mesafe vektörün büyüklüğüne eşittir. Görsel olarak vektörler ok şekliyle gösterilmektedir. Okun nokta olan kısmı vektörün kuyruğuyken, ok olan kısmı da vektörün başıdır.
2) Toplamı çizmek için ilk vektörün baş kısmına ikinci vektörün kuyruğunu denk getirin. Bu kuyruğu başa denk getirmek vektörlerin toplanması olarak adlandırılır. Eğer sadece iki vektörü topluyorsak bu bileşke, sonuç vektörünü bulmak için yapmanız gereken tek şeydir. 3) Çıkarmak için, vektörün “negatif” ini ekleyin. Vektörleri görsel olarak çıkarmak oldukça basittir. Basitçe vektörün tersini çevirin ve büyüklüğünü aynı şekilde tutun. Normalde toplama işleminde yapıldığı gibi ilk vektörün başına, ikinci vektörün kuyruğunu ekleyin. Diğer bir deyişle bir vektörü çıkarmak için vektörü 180 derece döndürün ve ilk vektöre ekleyin.
3) İkiden daha fazla vektörü toplayıp çıkaracaksanız sırayla vektörlerin kuyruklarına başlarını denk getirin. Bu işlemi yaparken vektörlerin sırası önemli değildir. Bu yöntem kaç tane vektör toplanacaksa veya çıkarılacaksa bütün hepsi için kullanılabilir.
4) Son vektörün başından ilk vektörün kuyruğuna sonuç vektörünü çizin. İlk vektörün başına, ikinci vektörün kuyruğunu eklemiş, ikinci vektörün başına da üçüncü vektörün kuyruğunu eklemiştik. Bu üç vektörün toplamını da(bileşke vektörünü) ilk vektörün başlangıç noktası ile son vektörün bitiş noktası arasına çizin. Tüm vektörlerin x, y ve / veya z bileşenlerini topladığınızda elde edilen bileşke vektörünün x, y ve/veya z bileşenleri görsel ekleme sonucunda ortaya çıkan vektörle aynı vektörlerdir.
5) Vektörlerin toplamından elde edilen bileşke vektör büyüklüğe ve yöne sahiptir. Vektörler bir büyüklük (uzunluk) ve yön ile tanımlanır. Yukarıda gösterildiği gibi iki vektörün toplamından elde edilen vektörün uzunluğu ve yön açısı vardır.
