Pisagor Teoremi İspatı

Pisagor teoremi sayesinde iki kenarı bilinen dik bir üçgenin bilinmeyen diğer kenarını bulmaya yardımcı olan bir teoremdir. Elbette bundan daha fazlasını yapmanıza da olanak tanır. Samos Pisagor isimli kişi Pisagor teoremi keşfetti ve ardından ispatladı. M.Ö(Milattan Önce) 550’lerde Yunanistan’da yaşamış olan bir kişidir. Siz de bu teoremin herkes tarafından kabul edilmiş olan ispatını öğrenmek istiyorsanız tek yapmanız gereken aşağıdaki adımları takip etmektir.

Adımlar

1. Dört tane aynı açı ve kenarlara sahip olan üçgen olduğunu varsayalım. Birbirine dik olan kenarlarının uzunluklarının a,b ve hipotenüsün uzunluğunun c olduğunu kabul edelim.

• Pisagor teoremi en temel haliyle dik bir üçgende birbirine dik olan kenarların uzunluklarının kareleri toplamının, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenarın) uzunluğunun karesini eşit olacağını belirtir. Bunun için de a² + b² = c² eşitliğinin ispat edilmesi gerekir.

2. Kenar uzunlukları (a+b) olan bir kare çizin ve bunu dik kenarları a,b olan üçgenleri oluşturacak şekilde düzenleyin.

• Yani karenin her kenarı için uzunlukları a ve b olacak şekilde parçalayacaksınız noktada üçgeni oluşturduğunuzda dik kenarları a,b olan ve hipotenüsü c olan üçgenleri elde etmiş olacaksınız. Orta kısımda ise kenar uzunluğu c olan bir kare elde edilmiş olur.
• Bu işlemi uzunluğu ne olursa olsun tüm kareler için uyguladığınızda aynı sonu elde edeceksiniz.
• Bir şeklin 4 kenarı da eşitse ve bu kenarlar arasındaki açı da eşitse bu şeklin kare olmaktan başka bir şansı yoktur.

3. Şimdi aynı şekil üzerine yine birbirine dik kenarları a,b olan üçgenleri farklı şekilde yerleştirin.

• Karenin çapraz açılarından itibaren birbirine dik kenarları a,b olan üçgenleri oluşturun.

4. Şimdi iki yapıyı birbiriyle karşılaştırın.

• Her iki şekilde kenarları (a+b) olan kare şeklindedir.
• Yine her iki şeklin içinde de kenarları a,b olan 4 tane dik üçgen oluşturuldu.
• Kare şekillerin içerisinde yer alan üçgenlerde aynı olduğundan dolayı geri kalan cisimlerin alanları birbirine eşit olmak zorundadır.
• Bu şekildeki kırmızı ve mavi ile belirtilen kısımların alanları toplamı, bir önceki şekildeki ortada kalan kare şeklindeki alana eşit olacaktır.

5. Mavi kısmın alanı a² , kırmızı kısmın alanı b² ve 2. adımda orta kısımda oluşan karenin alanı c² dir.

6. Kısacası: a² + b² = c² dir. Görüldüğü üzere Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır!

İpuçları:

• Bir üçgen dik açılıysa bu durumda o üçgen için Pisagor Teoremi geçerli olur. Aksi durumda bu teorem geçerli olmayacaktır. Dik açılı bir üçgende birbirine dik kenarların uzunlukları 3 ve 4 ise bu durumda hipotenüs(dik açının karşısındaki kenar) 5 olacaktır. Pisagor teoreminden 3,4,5; 6,8,10 şeklinde kolay bilinen üçgenler türetilmiştir.
• Pisagor teoremini ispatlamanın en az 350 farklı yolu vardır. Burada anlatılan yöntem ispatlamanın en kolay yollarından biridir.
• Unutulmamalı ki pisagor teoremi kenarları düzgün olan üçgenler için geçerlidir.
• Pisagor teoremi ile kenar uzunlukları birbirinden farklı birçok üçgen oluşturulabilir. Ancak bunlar içerisinde yaygın olarak kullanılan (5,12,13) ve (3,4,5) üçgenleridir.

Hazırlayan: Eflatun

Kaynak: 1 (Erişim: Nisan 15, 2020) 2 (Erişim: Nisan 15, 2020) 3 (Erişim: Nisan 15, 2020)