Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi Nasıl Yapılır

Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için sayıların karekökleri aynı olmak zorundadır. Eğer farklı karekökler varsa bunları çevirebiliyorsanız aynı kareköke çevirmelisiniz, çeviremiyorsanız da bu durumda toplama ve çıkarma işlemi yapamayacağınızı unutmamalısınız. Örneğin 3√3 ve 5√3 sayıları hem  toplanabilir, hem de çıkarılabilir, ama  3√3 ve 3√5 sayıları birbirleriyle toplanıp çıkarılamaz. Karekökleri eşit olan sayılarda ya da eşitlenebilen sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl yapılacağını detaylı olarak öğrenmek için okumaya devam etmeniz yeterlidir. 

Temel İşlemler

1. Mümkün olduğunca kareköklerin içini basitleştirin. Kareköklerin içindeki sayıları dışarı çıkarıp, karekökleri kolaylaştırmak için karesi olan sayıları bulun. Örneğin 16 (4 x 4), 9 (3 x 3) gibi sayılar bulmaya çalışın. Bu şekilde sayılar bulduğunuz zaman o sayıları karekök dışına çıkarabilir ve karakökü sadeleştirmiş olursunuz.  Bir örnek üzerinden daha detaylı inceleyecek olursak: 7√50 – 3√8 + 6√12 toplamı için kareköklü ifadeleri basitleştirmenin nasıl yapılacağına bakacak olursak,

• 7√50 = 7√(25 x 2) = 7√(5² x 2) = (7 x 5)√2 = 35√2. Burada 50 sayısı 25 x 2 şeklinde çarpanlarına ayırırsak 25 sayısının 5’in karesi olduğunu görmüş olursunuz. 25 sayısı karekök dışına 5 olarak çıkar. Şimdi yapılması gereken 7 sayısının yanına 5 sayısını koymak ve  bu çarpma işlemini yapmaktır: 7 x 5 = 35. Karekökün dışındaki sayı (karekök katsayısı) artık 35 olmuştur ve karekökün içerisinde de 2 sayısı kalmıştır: “√2”
• 3√8 = 3√(4 x 2) = 3√(2² x 2) = (3 x 2)√2 = 6√2. Bu işlemde karekök içinde 8 sayısını 4 x 2 olarak ifade edersek 4 sayısının 2’nin karesi (4 = 2 x 2) olduğu görülmüş olur. Buradan karekök 4 sayısı karekök dışına 2 olarak çıkar. Şimdi 2 sayısı karekök dışındaki 3 sayısı ile çarpılır: 2 x 3 = 6. Karekök katsayısını 6 olarak bulmuş ve karekök içindeki sayıyı da 2 olarak bulmuş (√2) olduk.
• 6√12 = 6√(4 x 3) = 6√(2² x 3) =  (6 x 2)√3 = 12√3. Bu işlemde karekök içindeki 12 sayısı 4 x 3 olarak çarpanlara ayrılabilir. 4 sayısı 2 ile 2 nin çarpımı olduğundan dolayı karekök dışına  2 olarak çıkar. Sonrasında başlangıçtaki karekökün katsayısıyla çarpılır (2 x 6) = 12 yeni karekök katsayısı bulunur. Karekökün içerisinde 3 sayısı kaldığından dolayı yeni karekök değeri de 3 olmuş olur (√3).

2. Toplanabilen kareköklü ifadeleri çember içine alın. Basitleştirdiğiniz kareköklü ifadelerde karekök içindeki sayıları çember içine alarak toplanabilirliğini gösterin: 35√2 – 6√2 + 12√3.  Vermiş olduğumuz örnekte 35√2 ve 6√2 sayıları aynı kareköklü değerlere sahip olduğundan dolayı, karekök katsayıları normal bir şekilde çıkarılabilir. Bu iki sayı için de toplama işlemini aynı şekilde yapabilirsiniz. Tek bilinmesi gereken kareköklü sayılar aynıysa, o iki sayının toplanıp, çıkarılabileceğidir. Aynı paydaya sahip kesirlerin direk toplanması gibi.

3. Daha fazla kareköklü sayıyla toplama ya da çıkarma işlemi yapıyorsanız ve karekök içerisindeki sayıların aynı olduğu birkaç sayı varsa bu durumda her toplanabilecek sayıyı farklı bir sembolle gösterin. Örneğin: √3 olan sayıları “*” simgesi ile işaretleyin. √5 olan sayıların altını çizin ve √2 olan sayıları da bir çember içine alın. Bu sayede hangi sayıların toplanabildiğini çok daha kolay algılayabileceksiniz.

4. Karekök içindeki sayıların eşit olduğu kareköklü sayıları toplayın ya da çıkarın. Şimdi yapmanız gereken tek şey toplanabilir / çıkarılabilir kareköklü sayıları toplamak / çıkarmak sonrasında ise toplanmayan kareköklü sayıları olduğu gibi bırakmaktır. 1. ve 2. adımda vermiş olduğumuz örnek üzerinden işlemler yapılırsa:

• 35√2 – 6√2 + 12√3 =
• (35 – 6)√2 + 12√3 =
• 29√2 + 12√3 olarak işlemin sonucu bulunmuş olur.

Daha Detaylı Konu Anlatımı

1. Sadece toplama işlemi olan Farklı örnek üzerinden devam edelim.Diyelim ki √ (45) + 6√5 işleminin sonucunu bulmak istiyorsunuz.
   • Burada yapılması gereken ilk şey √ (45) ifadesinin içerisindeki karekök dışına çıkabilecek şayıyı bulmaktır. √ (45)=√ (9 x 5) şeklinde ifade edilebilir.
   • 9, 3’ün karesi olduğu için karekök içindeki 9 dışarıya 3 olarak çıkar. Yani √ (45)=√ (9 x 5) = 3√5 şeklinde bulunmuş olur.
   • Şimdi geriye işlemin devamını yapmak kalıyor.
   • √ (45) + 6√5
   • 3√5 + 6√5
   • Karekök değerlerinin ikisi de aynı olduğu için iki kareköklü sayı arasında toplama işlemi yapılabilir:
   • 3√5 + 6√5 = 9√5 olarak bulunmuş olur.

2. Toplama çıkarma işlemi karışık farklı bir örnek yapalım. “8√ (40) – 6√ (10) + 3√5” şeklinde bir sorumuz olsun ve bunu adım adım çözelim:
   • ilk yapıması gereken şey karekök dışına çıkabilecek olan 8√ (40) ifadesinde sayıyı çarpanlarına ayırmak ve karekök dışına çıkarılabilen kısmını çıkarmaktır. 40=4×10’dur. Buradan 8√ (40) =8√ (4×10) olur.
   • 4, 2’nin karesi olduğu için karekök içerisindeki 4 dışarıya 2 olarak çıkar. Yani 8√ (40)=8√ (4×10)=(8×2)√ (10) şekline dönüşmüş olur.
   • Bir adım daha ilerlersek
   • 8√ (40)=8√ (4×10)=(8×2)√ (10)=16√ 10 olarak bulunmuş olur.
   • Şimdi sorudan devam edersek:
   • 8√ (40) – 6√ (10) + 3√5
   • 16√ 10 – 6√ (10) + 3√5 şekline gelmiş olduk. İlk iki ifade aynı kök değerlerine sahip olduğu için aralarında çıkarma işlemi yapılabilir, son ifade ile ilgili ise kök değeri farklı olduğu için herhangi bir toplama ya da çıkarma işlemi yapılamaz.
   • 16√ 10 – 6√ 10 + 3√5
   • (16-6)√ 10 + 3√5
   • 10√ 10 + 3√5 şeklinde işlemin sonucu bulunur.

Video:

İpuçları:

• Kareköklü sayılarda toplama ya da çıkarma işlemi yapmadan önce sadeleştirme yapmayı alışkanlık haline getirmelisiniz. Böylelikle işlemleri çok daha hızlı bir şekilde yapmış olacaksınız.

Uyarılar:

• Karekök içindeki sayıların aynı olmadığı kareköklü sayıları asla toplamaya çalışmayın.
• 4 + (3x)^1/2  herhangi bir kareköklü sayının basitleşrilmiş hali olamaz.
  • 3x ‘in karekökü ile  (3x)^1/2 tamamen aynı şeyleri ifade etmektedir (3x’in 1/2 ‘nci kuvveti)

Sizlerin Merak Ettikleri

1. Soru: Kök 7 – Kök 3 ile Kök 7 + Kök 3 nasıl çarpılır, bunu yapmanın kolay yolu var mıdır?
   • Cevap: (x – y) (x + y) = x² – y² olduğundan dolayı (√7-√3) x (√7+√+3) ifadesi de (√7)²-(√3)² şeklinde ifade edilebilir. Bu da 7-3=4 şeklinde bulunmuş olur.

2. Soru: √3 + √3 işlemini nasıl çözerim?
   • Cevap: √3 + √3 = 2√3 isterseniz 2’yi kök içine 4 olarak alabilir ve 2√3=√(4*3)=√12 olarak da ifade edebilirsiniz.
3. Soru: Kök 5’e kök 5’i eklersem sonuç ne olur?
   • Cevap: √5 + √5 = 2√5 sonucu bulunmuş olur.
4. Soru: 2 karekök sekizden, karekök 8 nasıl çıkarılır?
   • Cevap: 2√8 – √8 = √8 şeklinde bulunur. √8 = √(4*2) =2√2 olarak sonuç bulunur.

İngilizcesi: How to Add and Subtract Square Roots

Hazırlayan: A. Kadir

Kaynak: 1 (Erişim: January 18, 2020) 2 (Erişim: January 18, 2020)