Fonksiyonların Tersini Alma

Bir matematiksel fonksiyon (genellikle f(x) formatında) x için bir değer verirseniz size bu değer karşılığında y değeri verecek bir formül olarak düşünülebilir. f(x) fonksiyonun tersi (f-1(x) olarak ifade edilir) ile y değerine koyulan sayının x değerini bulursunuz. Bir fonksiyonun tersini alma(bulma) işlemi karmaşık gibi görünse de temel cebirsel işlemleri bildiğiniz takdirde kolaydır. Aşağıda anlatılan talimatları adım adım okuyup ve talimatların sonundaki açıklayıcı örneği çözdüğünüz durumda siz de cebirsel fonksiyonların tersini almayı öğrenmiş olacaksınız.

Fonksiyonların Tersi Nasıl Alınır

1. Fonksiyonu yazın, gerekirse f(x) ile y’ yi yer değiştirin. Fonksiyonun tersini bulmak için eşitliğin bir tarafında y olmalı diğer tarafında ise x’li terimler ve sabit sayılar olmalıdır. Elinizdeki denklem zaten y terimli şekilde yazıldıysa(3 + y = 4x²) tek yapmanız gereken eşitliğin bir tarafında y’yi bırakmak, diğer tarafına da diğer tüm terimleri atmaktır. Sonrasında da y ile işlemlere devam etmektir.

• Örneğin, f(x) = 5x -2 şeklinde bir fonksiyon olsun elimizde, bu fonksiyonda f(x)  yerine y konulursa y = 5x-2 olarak bulunur.
• Not: f(x), fonksiyonların standart gösterimidir. Bunun dışında farklı fonksiyonlar olduğunda g(x), h(x) vb. şekilde de tanımlamalar yapılabilmektedir. Bu şekilde tanımlamalarda da fonksiyonun tersini almak için burada anlatılan işlemleri uygulamanız yeterlidir.

2. x’i çözün. Diğer bir deyişle eşittir işaretinin bir tarafında x, diğer tarafında diğer terimler olacak şekilde terimlerin yerini değiştirin (Yani x’i yalnız bırakın). Bu işlemleri yapabilmek için temel cebirsel işlemler size yeterli olacaktır: x’in yanında herhangi sabit bir terim varsa onun işaretini değiştirerek eşitliğin öbür tarafına aktarın ve x’in herhangi bir katsayısı varsa eşitliğin her iki tarafını bu sayıya bölün.

• Unutmayın, eşittir işaretinin sağında herhangi bir değişiklik yapıyorsanız, solunda da aynı değişikliği yapmalısınız ki eşitlik bozulmasın. (Yani en basitinden 5 = 5′ de eşitliğin sağ tarafına 2 eklersek soluna eklemeliyiz ki eşitlik yine sağlansın(5+2 = 5+2, 7 =7) )
• Örnek: Verdiğimiz örnek üzerinden devam edersek ilk olarak eşitliğin her iki tarafına 2 eklemeliyiz (ya da eşitliğin sağındaki -2’yi eşitliğin soluna +2 olarak geçirmeliyiz). Bu durumda denklem y + 2 = 5x şeklini alın. Sonrasında denklemin her iki tarafını 5 ile bölmeliyiz: (y + 2) / 5 = 5x / 5, (y + 2) / 5 = x olarak bulunmuş olur. Daha kolay devam edilmesi açısından x’i sola yazarak gösterirsek: x = (y + 2) / 5 olmuş olur.

3. Değişkenleri değiştirin. y yerine x, x yerine de y yazın. Böylelikle ilk vermiş olduğumuz denklemin tersini bulmuş oldunuz. İlk fonksiyonda x yerine bir değer yazılırsa elde edilen y değerini, fonksiyonun tersindeki x’in yerine koyarsak bulunan y değeri başlangıçtaki koymuş olduğumuz x değeri ile aynı olmuş olacaktır!

• Örnek: x ve ye yer değiştirildikten sonra: y = (x + 2) / 5 şeklini almış olur.

4. y yerine f-¹(x) yazın. Ters fonksiyonlar genellikle f-¹(x) = (x cinsinden) olarak yazılır. Bu durumda belirtilmelidir ki, -1 bu fonksiyonun üssünü alma anlamına gelmez. Bu işlev orjinal fonksiyonun tersini belirtmek için kullanılan bir kısaltmadır.

• f(x)’ in üzerine -1 konulması demek aynı zamanda “1/f(x)” demektir (f(x)’ in -1 ‘inci kuvveti)

5. Yapılan işlemleri kontrol edin. Fonksiyonun tersi alınmamış halinde x yerine bir değer koyun ve o değere karşılık y değerini bulun. Bulunan y değerini fonksiyonun tersindeki x yerine koyun ve y değerini bulun. Bu bulunan y değeri ile başlangıçta koymuş olduğunuz x değeri aynı olmalıdır.

• Verdiğimiz örnekte x yerine 5 koyarsak
  • f(x) = 5x – 2, x=5 için,
  • f(5) = 5*5 -2 = 23
• Şimdi fonksiyonun tersinde x yerine 23 koyalım ve x değerini bulalım.
  • f-¹(x) = (x+2) /5 , x =23 için,
  • f-¹(x)=y = (23+2)/5 = 5 görüldüğü gibi bu değer başlangıçta koymuş olduğumuz x değeri ile aynıdır. Buradan da yapılan ters alma işleminin doğru olduğu kontrol edilmiş olur.

İpuçları:

• Fonksiyonlarda cebirsel işlem yaparken f(x) = y veya f^(-1)(x) = y şeklinde kullanabilirsiniz. Yalnız bunları karıştırabileceğinizi düşünüyorsanız o zaman başlangıçtaki halleriyle kullanmanızda fayda vardır. Böylelikle hangisinin hangisi olduğunu ayırt edebilirsiniz.
• Her zaman olmasa da bazı zamanlarda bir fonksiyonun tersi kendisi olabilir. Örneğin, f(x)=1-x fonksiyonun tersi kendisidir.